MULTIPLE INTELLIGENCES

Kecerdasan merupakan salah satu faktor utama yang menentukan sukses gagalnya peserta didik belajar di sekolah. Peserta didik yang mempunyai taraf kecerdasan rendah atau di bawah normal sukar diharapkan berprestasi tinggi. Tetapi tidak ada jaminan bahwa dengan taraf kecerdasan tinggi seseorang secara otomatis akan sukses belajar di sekolah. Berbagi ilmu dari Profesor Gardner yang telah menemukan teori kecerdasan majemuk atau Multiple Intelligences, bahwa ada banyak kecerdasan yang dimiliki setiap orang. Teori ini juga menekankan pentingnya “model” atau teladan yang sudah berhasil mengembangkan salah satu kecerdasan hingga puncak.

Dalam buku konsep dan makna pembelajaran (Sagala, 2005 : 84) memaparkan 8 kecerdasan yaitu kecerdasan verbal/bahasa, kecerdasan logika/matematika, kecerdasan spasial/visual, kecerdasan tubuh/kinestetik, kecerdasan musical/ritmik, kecerdasan interpersonal, kecerdasan intrapersonal, kecerdasan spiritual.

Kecerdasan Linguistik

Anak-anak dengan tingkat kecerdasan linguistik tinggi gemar menulis, membaca dan berbicara. Biarkan mereka berdiskusi mengenai buku atau sesuatu yang mereka baca. Untuk memperkaya kosa kata mereka, berikan permainan seperti Boggle atau Scrabble. Beberapa jenis pekerjaan yang membutuhkan kecerdasan linguistik adalah wartawan dan reporter, tenaga penjual, penyair, copywriter, penulis dan pengacara. Bentuk kecerdasan ini dinampakkan oleh kepekaan akan makna dan urutan kata serta kemampuan membuat beragam penggunaan bahasa untuk menyatakan dan memaknai arti yang kompleks. Berkaitan dengan pelajaran bahasa. William Shakespeare, Martin Luther King Jr, Soekarno, Putu Wijaya, Taufiq Ismail, Hilman “Lupus” Hariwijaya merupakan tokoh yang berhasil menunjukkan kecerdasan ini hingga puncak, demikian pula para jurnalis hebat, ahli bahasa, sastrawan, orator pasti memiliki kecerdasan ini.

Kecerdasan Logika/Matematika

Bentuk kecerdasan ini termasuk yang paling mudah distandarisasikan dan diukur. Kecerdasan ini sebagai pikiran analitik dan sainstifik, dan bisa melihatnya dalam diri ahli sains, programmer komputer, akuntan, banker dan tentu saja ahli matematika. Berkaitan dengan pelajaran matematika. Tokoh yang terkenal antara lain Madame Currie, Blaise Pascal, B.J. Habibie. Kemampuan menggunakan angka-angka untuk menghitung dan mendeskripsikan sesuatu, menggunakan konsep matematis, menganalisa berbagai permasalahan secara logis, menerapkan matematika pada kehidupan sehari-hari, peka terhadap pola tertentu, serta menelaah  berbagai permasalahan secara ilmiah. Beberapa jenis pekerjaan yang membutuhkan kecerdasan logika matematika adalah : akuntan, ahli statistik, insinyur, penemu, pedagang, dan pembuat program komputer

Kecerdasan Tubuh/Kinestetik

Bentuk kecerdasan ini memungkinkan terjadinya hubungan antara pikiran dan tubuh yang diperlukan untuk berhasil dalam aktivitas seperti menari, melakukan pantomim, berolahraga, seni bela diri dan memainkan drama. Sebut saja Michael Jordan, Martha Graham (penari balet), Susi Susanti. Kecerdasan ini berkaitan dengan pejaran olahraga atau kegiatan ekstrakurikuler seperti menari, bermain teater, pantomim. Untuk mengembangkan jenis kecerdasan ini, dorong mereka untuk bergabung dalam tim olahraga di sekolah. Ajak mereka untuk melakukan kegiatan olah raga seperti berenang. Daftarkan mereka ke dalam kelas tari.  kemampuan untuk menggunakan seluruh atau sebagian dari tubuh untuk melakukan sesuatu, membangun kedekatan untuk mengkonsolidasikan dan meyakinkan serta mendukung orang lain, dan menggunakannya untuk menciptakan bentuk ekspresi baru. Beberapa jenis pekerjaan yang membutuhkan kecerdasan ini adalah mekanik, pelatih, pengrajin, atlet, aktor, penari atau koreografer. 

Kecerdasan Musical/Ritmik

Bentuk kecerdasan ini mendengarkan pola musik dan ritmik secara natural dan kemudian dapat memproduksinya. Bentuk kecerdasan ini sangat menyenangkan, karena musik memiliki kapasitas untuk mengubah kesadaran kita, menghilangkan stress dan meningkatkan fungsi otak. Berkaitan dengan kegiatan ekstrakurikuler. Tokoh yang sudah mengembangkan kecerdasan ini misalnya Stevie Wonder, Melly Goeslow, Titik Puspa. Beberapa jenis pekerjaan yang membutuhkan kecerdasan musikal adalah guru musik, pembuat instrumen atau alat musik, pemain band atau konduktor, DJ, kritikus musik, kolektor musik, pencipta lagu atau penyanyi.

Kecerdasan Interpersonal

Bentuk kecerdasan ini wajib bagi tugas-tugas ditempat kerja seperti negosiasi dan menyediakan umpan balik atau evaluasi. Berkaitan dengan pelajaran PPKn, sosiologi. Manajer, konselor, terapis, politikus, mediator menunjukkan bentuk kecerdasan ini. Mereka biasanya pintar membaca suasana hati, temperamen, motivasi dan maksud orang lain. Abraham Lincoln dan Mahatma Gadhi memanfaatkan kecerdasan ini untuk mengubah dunia. kemampuan untuk mengorganisasikan orang lain dan mengkomunikasikan secara jelas apa yang perlu dilakukan, berempati kepada orang lain, membedakan dan menginterpretasikan berbagai jenis komunikasi dengan orang lain, dan memahami intensi, hasrat, dan motivasi orang lain. Beberapa jenis pekerjaan yang menggunakan kecerdasan interpersonal adalah manajer, politisi, pekerja sosial, pemimpin, psikolog, guru atau konsultan.Secara umum, anak-anak dengan kecerdasan interpersonal tinggi akan dengan senang hati mengikuti semua kelompok kegiatan di dalam dan luar sekolah serta mudah berteman dimanapun ia berada.

Kecerdasan Intrapersonal

Bentuk kecerdasan ini merupakan kemampuan untuk memahami dan mengartikulasikan cara kerja terdalam dari karakter dan kepribadian. Kita sering menamai kecerdasan ini dengan kebijaksanaan. Berkaitan dengan jurusan psikologi atau filsafat. Tokoh sukses yang dapat dikenalkan untuk memperkaya kecerdasan ini adalah para pemimpin keagamaan dan para psikolog. Beberapa jenis pekerjaan yang menggunakan kecerdasan ini adalah perencana, pemuka agama, atau ahli filosofi

Kecerdasan Spiritual

Kecerdasan spiritual merupakan kecerdasan rohaniah, yang menuntun diri kita menjadi manusia yang utuh, berada pada bagian yang paling dalam diri kita. Dengan beragamnya kecerdasan manusia, menjadikan peran guru amat penting untuk memberikan arahan pada apa yang cocok dan sesuai bagi para siswanya.

Kecerdasan Spasial/Visual

Bentuk kecerdasan ini umumnya terampil menghasilkan imaji mental dan menciptakan representasi grafis, mereka sanggup berpikir tiga dimensi, mampu mencipta ulang dunia visual. Kecerdasan ini dapat ditemukan pada pelukis, pematung, programmer komputer, desainer, arsitek. Tokoh yang dapat diceritakan berkaitan dengan kecerdasan ini, misalnya Picasso, Walt Disney, Garin Nugroho. Beberapa permainan yang mendukung kecerdasan visual spasial adalah LEGO dan Blokus. Beberapa jenis pekerjaan yang membutuhkan kecerdasan spasial adalah photographer, decorator ruang, perancang busana, arsitek, pembuat film.

Selain kedelapan jenis kecerdasan diatas, ternyata masih ada bentuk kecerdasan lain, yaitu 

Kecerdasan Eksistensial

Kemampuan untuk menikmati pemikiran-pemikiran dan ingin tahu mengenai kehidupan, kematian dan realita yang ada. Anak-anak dengan tingkat kecerdasan eksistensial yang tinggi mungkin akan menunjukkan keingintahuan mengenai bagaimana bumi bertahun-tahun yang lalu, mengapa kita ada di bumi, apakah ada kehidupan di planet lain, ke mana mahluk hidup setelah mati, apakah ada dimensi kehidupan lain dan berbagai pertanyaan sejenis.

AT ini ilmu pengetahuan, khususnya matematika, berkiblat ke negeri Barat (Eropa dan Amerika). Kita hampir tidak pernah mendengar ahli matematika yang berasal dari negeri Timur (Arab Muslim, India, Cina). Yang paling populer kita dengar sebagai matematikawan Arab Muslim yang mempunyai kontribusi terhadap perkembangan matematika adalah Al-Khawarizmi, dikenal sebagai bapak Aljabar, memperkenalkan bilangan nol (0), dan penerjemah karya-karya Yunani kuno.

Apakah benar hanya itu kontribusi negeri-negeri timur (khususnya umat Islam) terhadap perkembangan matematika?

Kisah angka nol

Konsep bilangan nol telah berkembang sejak zaman Babilonia danYunani kuno, yang pada saat itu diartikan sebagai ketiadaan dari sesuatu. Konsep bilangan nol dan sifat-sifatnya terus berkembang dari waktu ke waktu.

Hingga pada abad ke-7, Brahmagupta seorang matematikawan India memperkenalkan beberapa sifat bilangan nol. Sifat-sifatnya adalah suatu bilangan bila dijumlahkan dengan nol adalah tetap, demikian pula sebuah bilangan bila dikalikan dengan nol akan menjadi nol. Tetapi, Brahmagupta menemui kesulitan, dan cenderung ke arah yang salah, ketika berhadapan dengan pembagian oleh bilangan nol. Hal ini terus menjadi topik penelitian pada saat itu, bahkan sampai 200 tahun kemudian. Misalnya tahun 830, Mahavira (India) mempertegas hasil- hasil Brahmagupta, dan bahkan menyatakan bahwa “sebuah bilangan dibagi oleh nol adalah tetap”. Tentu saja ini suatu kesalahan fatal. Tetapi, hal ini tetap harus sangat dihargai untuk ukuran saat itu.

Ide-ide brilian dari matematikawan India selanjutnya dipelajari oleh matematikawan Muslim dan Arab. Hal ini terjadi pada tahap-tahap awal ketika matematikawan Al-Khawarizmi meneliti sistem perhitungan Hindu (India) yang menggambarkan sistem nilai tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.

Al-Khawarizmi adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh. Sistem ini disebut sebagai sistem bilangan desimal.

Zaman Kegelapan

Sebenarnya stagnasi ilmu pengetahuan tidak pernah terjadi, yang terjadi adalah berpindahnya pusat-pusat ilmu pengetahuan. Sejarah mencatat bahwa setelah Yunani runtuh, muncul era baru, yaitu era kejayaan Islam di tanah Arab. Hal ini berakibat bahwa perkembangan kebudayaan dan ilmu pengetahuan berpusat dan didominasi oleh umat Islam-Arab. Yang dimaksud dengan Arab di sini meliputi wilayah Timur Tengah, Turki, Afrika utara, daerah perbatasan Cina, dan sebagian dari Spanyol, sesuai dengan wilayah kekuasaan kekhalifahan Islam pada saat itu.

Khalifah Harun Al-Rashid, khalifah kelima pada masa dinasti Abassiyah, sangat memerhatikan perkembangan ilmu pengetahuan. Pada masa kekhalifahannya, yang dimulai pada sekitar tahun 786, terjadi proses penerjemahan besar-besaran naskah-naskah matematika (juga ilmu pengetahuan lainnya) bangsa Yunani kuno ke dalam bahasa Arab. Bahkan khalifah berikutnya, yaitu khalifah Al-Ma’mun lebih besar lagi perhatiannya terhadap perkembangan ilmu pengetahuan. Pada masa kekhalifahannya di Bagdad didirikan Dewan Kearifan, yang menjadi pusat penelitian dan penerjemahan naskah Yunani.

Beasiswa disediakan bagi para penerjemah dan umumnya mereka bukan hanya ahli bahasa, tetapi juga merupakan ilmuwan yang ahli dalam matematika. Misalnya Al-Hajjaj menerjemahkan naskah Elements (berisi kumpulan pengetahuan matematika) yang ditulis Euclid. Beberapa penerjemah lainnya misalnya Al-Kindi, Banu Musa bersaudara, dan Hunayn Ibnu Ishaq.

Seperti yang banyak dikemukakan ahli sejarah matematika, terutama yang ditulis oleh orang Barat, kontribusi Muslim bagi perkembangan matematika adalah terbatas pada aktivitas penerjemahan naskah Yunani kuno ke dalam bahasa Arab. Banyak ahli sejarah matematika yang tidak menampilkan tentang sumbangan besar Muslim terhadap perkembangan matematika, baik karena sengaja atau ketidaktahuannya.

Namun tidak sedikit pula ahli sejarah matematika dari Barat yang lebih objektif dalam mengemukakan fakta-fakta yang sebenarnya terjadi. Dalam satu sumber yang ditulis oleh J. J. O’Connor dan E. F. Robertson dikatakan bahwa dunia barat sebenarnya telah banyak berutang pada para ilmuwan/matematikawan Muslim. Lebih lanjut bahwa perkembangan yang sangat pesat dalam matematika pada abad ke-16 hingga abad ke-18 di dunia barat, sebenarnya telah dimulai oleh para matematikawan Muslim berabad-abad sebelumnya.

Kontribusi matematikawan Muslim

Salah seorang matematikawan brilian pada masa permulaan adalah Al- Khawarizmi. Selain kontribusinya seperti yang telah dikemukakan, Al- Khawarizmi dikenal pula sebagai pionir dalam bidang aljabar. Penelitian-peneliti an Al-Khawarizmi adalah suatu revolusi besar dalam dunia matematika, yang menghubungkan konsep-konsep geometri dari matematika Yunani kuno ke dalam konsep baru. Penelitian-peneliti an Al- Khawarizmi menghasilkan sebuah teori gabungan yang memungkinkan bilangan rasional/irasional, besaran-besaran geometri diperlakukan sebagai “objek-objek aljabar”.

Generasi penerus Al-Khawarizmi, misalnya Al-Mahani (lahir tahun 820), Abu Kamil (lahir tahun 850) memusatkan penelitian pada aplikasi- aplikasi sistematis dari aljabar. Misalnya aplikasi aritmetika ke aljabar dan sebaliknya, aljabar terhadap trigonometri dan sebaliknya, aljabar terhadap teori bilangan, aljabar terhadap geometri dan sebaliknya. Penelitian-peneliti an ini mendasari penciptaan aljabar polinom, analisis kombinatorik, analisis numerik, solusi numerik dari persamaan, teori bilangan, dan konstruksi geometri dari persamaan.

Al-Karaji (lahir tahun 953) diyakini sebagai orang pertama yang secara menyeluruh memisahkan pengaruh operasi geometri dalam aljabar. Al-Karaji mendefinisikan monomial x, x2, x3,…dan 1/x, 1/x2, 1/x3,…dan memberikan aturan-aturan untuk perkalian dari dua suku darinya. Selain itu, ia juga berhasil menemukan teorema binomial untuk pangkat bilangan bulat. Selanjutnya untuk memajukan matematika, ia mendirikan sekolah aljabar. Generasi penerusnya (200 tahun kemudian), yaitu Al- Samawal adalah orang pertama yang membahas topik baru dalam aljabar. Menurutnya bahwa mengoperasikan sesuatu yang tidak diketahui (variabel) adalah sama saja dengan mengoperasikan sesuatu yang diketahui. Matematikawan Muslim lainnya adalah Omar Khayyam yang lahir sekitar tahun 1048. Dia berjasa besar melalui penelitiannya, memberikan klasifikasi lengkap dari persamaan pangkat tiga melalui penyelesaian geometri dengan menggunakan konsep pemotongan kerucut. Dia juga memberikan sebuah konjektur (dugaan) tentang deskripsi lengkap dari penyelesaian aljabar dari persamaan-persamaan pangkat tiga.

Matematikawan berikutnya adalah Sharaf al-Din al-Tusi yang lahir tahun 1135. Dia mengikuti Omar Khayyam dalam mengaplikasikan aljabar pada geometri, yang pada akhirnya menjadi permulaan bagi cabang algebraic geometry.

Di luar bidang aljabar, matematikawan Muslim juga mempunyai andil. Salah seorang dari Banu Musa bersaudara, yaitu Thabit Ibnu Qurra (lahir tahun 836), mempunyai kontribusi yang banyak bagi matematika. Salah satunya adalah dalam teori bilangan, yaitu penemuan pasangan bilangan yang mempunyai sifat unik; dua bilangan yang masing- masingnya adalah jumlah dari pembagi sejati bilangan lainnya dan disebut pasangan bilangan bersahabat (amicable number). Teorema Thabit Ibnu Qura ini kemudian dikembangkan oleh Al-Baghdadi (lahir tahun 980).

Berikutnya adalah Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam (lahir tahun 965 di Basrah Irak), yang oleh masyarakat Barat dikenal dengan nama Alhazen. Al-Haytam adalah orang pertama yang mengklasifikasikan semua bilangan sempurna yang genap, yaitu bilangan yang merupakan jumlah dari pembagi-pembagi sejatinya, seperti yang berbentuk 2k-1(2k-1) di mana 2k-1 adalah bilangan prima. Selanjutnya Al-Haytam membuktikan bahwa bila p adalah bilangan prima, 1+(p-1)! habis dibagi oleh p.

Sayangnya, jauh di kemudian hari, hasil ini dikenal sebagai Teorema Wilson, bukan Teorema Al-Haytam. Teorema ini disebut Teorema Wilson setelah Warring pada tahun 1770 menyatakan bahwa John Wilson telah mengumumkan hasil ini. Selain dalam bidang matematika, Al-Haytam juga dikenal baik dalam dunia fisika, yang mempelajari mekanika pergerakan dari suatu benda. Dia adalah orang pertama yang menyatakan bahwa jika suatu benda bergerak, akan bergerak terus menerus kecuali ada gaya luar yang memengaruhinya. Ini tidak lain adalah hukum gerak pertama, yang umumnya dikenal sebagai hukum Newton pertama. Selain itu, Al- Haytam memberikan andil yang sangat besar bagi perkembangan teori dan praktik optik. Al-Farisi (lahir tahun 1260) memberikan metode pembuktian yang baru untuk teorema Thabit Ibnu Qurra. Dia memperkenalkan ide baru berkenaan faktorisasi dan metode kombinatorik.

Matematikawan lainnya adalah Al-Kashi (lahir tahun 1380) yang memberikan kontribusi besar bagi perkembangan teori pecahan desimal. Teori ini mempunyai kaitan yang sangat erat dengan teori bilangan riil dan sejarah penemuan bilangan (pi). Selanjutnya ia mengembangkan algoritma penghitungan akar pangkat n. Metode ini beberapa abad kemudian dikembangkan oleh matematikawan barat Ruffini dan Horner.

Bidang astronomi

Masalah-masalah astronomi, penentuan waktu, dan masalah geografi merupakan motivasi lain bagi matematikawan Muslim untuk melakukan penelitian. Misalnya saja Ibrahim Ibnu Sinan (lahir sekitar tahun 910- an) dan kakeknya Thabit Ibnu Qurra, mempelajari kurva-kurva yang diperlukan dalam mengonstruksi jam matahari. Abul-Wafa (lahir tahun 940-an) dan Abu Nasr Mansur (lahir tahun 970-an) mengaplikasikan geometri bola terhadap astronomi dan menggunakan rumus-rumus yang melibatkan sinus dan tangen. Kemudian Al-Biruni (lahir tahun 973) menggunakan rumus sinus baik dalam astronomi maupun dalam perhitungan garis bujur dan lintang dari kota-kota. Dalam kasus ini, Al-Biruni melakukan penelitian yang sangat gencar dalam proyeksi dari bola pada bidang.

Thabit Ibnu Qurra juga mempunyai kontribusi bagi teori dan observasi dalam astronomi. Al-Batanni (lahir tahun 850) membuat observasi yang akurat yang memungkinkannya untuk memperbaiki data-data dari Ptolemy tentang bulan dan matahari. Nadir al-Din al-Tusi (lahir tahun 1201), berdasarkan astronomi teoritisnya dalam pekerjaan Ptolemy, membuat pengembangan yang sangat signifikan dalam model sistem planet.

Pembuatan tabel-tabel fungsi trigonometri adalah bagian dari pekerjaan para matematikawan Muslim dalam penelitian bidang astronomi, seperti yang dilakukan oleh Ulugh Beg (lahir tahun 1393) dan. Konstruksi alat-alat astronomi juga tak lepas dari pengaruh para matematikawan Muslim.

Uraian di atas tidaklah cukup mengulas secara menyeluruh karya-karya matematikawan Muslim. Masih banyak yang belum tercakup, dan belum terungkap. Belum tercakup dan belum terungkapnya semata-mata karena kurangnya sumber yang mengisahkan mereka. Dengan demikian, pantas bagi kita untuk mengatakan bahwa matematikawan Muslim adalah pahlawan- pahlawan matematika yang terlupakan. Atau, memang sengaja dilupakan.

Wallahu a’lam.***

Prestasi Intelektual Muslim II

(Periode Abbasiah)*

Alih Bahasa: Dwi Sulastyawati, M. Sc

Kimia

Dalam bidang ilmu kimia, Ilmuwan muslim memperkenalkan eksperimen-eksperimen objektif, dan membuat kemajuan yang sangat bagus atas spekulasi teori Yunani yang membingungkan. Mereka memukan teori afinitas (daya tarik menarik) tembaga, perak dan emas, selain itu mereka juga menemukan teori oksidasi. Dalam ilmu kimia di kenal nama Jabir bin Hayyan, ia bahkan dijuluki sebagai bapak ilmu kimia bangsa Arab (776 H). Jabir bin Hayyan menulis beberapa risalah mengenai ilmu kimia yang menjadi rujukan pelajar kimia modern.

Filsafat

Ilmuwan muslim menaruh perhatian yang sangat besar dalam ilmu filsafat. Filsafat bahkan menjadi cabang ilmu yang hangat diperbincangkan dan didiskusikan. Kebanyakan cendekiawan muslim selain menguasai ilmu-ilmu lain mereka juga sebagai seorang filosof. Ilmu filsafat yang dikembangkan umat muslim pada periode kekhalifahan Abbasiah adalah ilmu filsafat yang bersumber dari Yunani yang dimodifikasi oleh pemikiran-pemikiran bangsa pendatang dan pegaruh orang-orang Timur, yang akhirnya diekspresikan kedalam bahasa Arab. Ilmuwan Arab memberikan kontribusi yang sangat signifikan. Mereka memberikan batasan-batasan atara filsafat dan agama. Nama-nama besar dalam ilmu filsafat adalah Al- Kindi (Alchendius), Al-Farabi dan Ibnu Sina.

Al-Kindi dilahirkan di Kufah pada pertengahan abad ke-9. Dia menyandang gelar “the philosopher of Arab”, dan dikenal dengan nama Alchendius di Eropa. Ia juga dikenal sebagai seorang Universalis. Alkindi lebih dari hanya seorang filosof dia juga ahli astrologi, kimia, optik, dan musik.

Astronomi

Ilmuwan muslim juga membuat kemajuan yang membanggakan dalam bidang ilmu astronomi, bahkan mereka diangggap telah membuat penemuan terbesar pada masa pemerintahan Abbasiah. Mereka menemukan teori tentang sistem pergerakan tata surya, sistem Equinoxes (waktu siang dan malam sama lama), dan teori bentuk bumi (saintifik studi mengenai astronomi dimulai dan dipengaruhi oleh karya ilmuan India Sinddhanta yang membawa karyanya ke baghdad (771), karyanya ini diterjemahkan oleh Muhammad bin Ibrahim al-Farazi, model ini juga dipengaruhi karya-karya Yunani kuno).

Prestasi lain yang dicapai dalam bidang astronomi adalah teori fundamental mengenai ecliptic (poros putaran matahari), Equinoxes, dan teori bahwa “bumi itu bulat”.

Muhammad bin Jabir Al-Battani dikenal sebagai “greatest astronomer in Islam”. Ia membuat teori sirkulasi bulan dan planet, dan membuktikan kemungkinan terjadinya gerhana matahari.

Al-Biruni (973-1048) hidup di Ghazna (Afghanistan) juga dikenal sebagai ilmuwan besar astronomi. Ia menyusun buku tanya jawab mengenai geometri, aritmatika, astronomi dan astrologi yang berjudul “At-tajhim liahwali sina’ati-tanjim”. Karya pertamanya adalah “al-asar albaqiah anil-Qur’an alkhaliah”.

Matematika

Dalam cabang ilmu matematika ilmuwan muslim juga memberikan kontribusi berharga seperti; Algebra, Statistik dan matematika terapan lainnya yag merupakan temuan ilmuwan muslim. profesor Arnold berkomentar “tak usah dipertanyakan lagi bahwa ilmuwan muslim adalah penemu teori trigonometri dengan konsep yang jelas, yang bahkan belum ada pada masa Yunani. Para matematikawan muslim juga membuat kemajuan dalam teori persamaan kuadrat dan teorema binomial.

Nama-nama ilmuwan besar dalam matematika antara lain: Umar Al-Khayyam (mengkonsep kalender untuk kkurun waktu lima ribu tahun), Alkindi, Abu Abdullah Muhammad bin Isa Al-Mahani dari Iran, terkenal sebagai matematikawan yang mengomentari teori Archimedes dan Euclid, ia juga menulis konsep trigonometri, astronomi, geometri dan persamaan kubik, Al-Biruni (menulis buku ringkasan Matematika), dan Al-Khawarizmi (menulis tentang Aritmatika), karyanya dialihbahasakan kedalam bahasa Latin dan masih digunakan sebagai rujukan hingga abad ke-16 sebagai buku panduan matematika di universitas-universitas Eropa. Matematikawan seperti; Umar al-Khayam, Leonardo Fibonacci, dan Jacob adalah para ilmuwan yang terinspirasi dari karya-karya Al-Khawarizmi.

Geografi

Dalam bidang ilmu geografi tercatat nama-nama seperti Ahmad bin Fadlan, Al-Istakhri penulis “al-masalik al-mamalik, Ibnu Hawqal, Al-Maqdisi penulis; Ahsanut-taqsim fi ma’rifatil-aqolim, Al-Hasan bin Ahmad Al-hamadani seorang arkeologis terkenal dan meninggal di penjara pada tahun 945 H, ia menulis “Al-Iklil dan Sifat Jaziratul Arab”, dan Yaqut bin Abdullah al-Hamawi penulis; “Mu’jamul-buldan.

Dalam ilmu Teologi mayoritas para cendikiawan berkecimpung dan pakar dibidang ini karena ilmu teologi sangat erat kaitannya dengan Al-Quran dan Hadis.

Cabang ilmu lainnya seperti sastra, persajakan, hukum, berkembang dengan pesatnya. Kesenian dalam bentuk arsitektur, seni lukis, kaligrafi dan musik juga berkembang sampai pada tahap yang mengesankan.

TRIGONOMETRI adalah salah satu cabang dari ilmu matematika geometri. Sebagian besar siswa di Indonesia memang kurang menyukai pelajaran trigonometri karena dianggap sulit, banyak rumusnya dan memiliki soal-soal yang sangat variatif dan rumit. Meski demikian, trigonometri adalah salah satu cabang ilmu yang sangat penting.

Tanpa ilmu trigonometri, wajah dunia tidak akan “secanggih” seperti sekarang. Tidak akan berdiri bangunan-bangunan indah, tinggi dan berstruktur kokoh, jika insinyur yang membangunnya tidak menguasai hitungan trigonometri dengan baik. Tanpa pemahaman trigonometri yang bagus, pesawat terbang maupun alat-alat berbasis mesin lainnya tidak akan bekerja dengan baik, karena mesin yang berputar akan menciptakan pola-pola trigonometri seperti sinus dan cosinus. Tanpa ilmu trigonometri, kita tidak dapat menonton TV dan mendengar musik , sebab sumber arus listrik yang dipakai memiliki pola-pola trigonometri yang harus dikuasai dengan baik. Tanpa kemampuan yang prima dalam trigonometri, sulit tercipta sistem yang sangat canggih seperti Global Positioning System (GPS). Pendek kata, tanpa kemampuan memahami trigonometri dengan baik, wajah dan keadaan dunia akan tampak “primitif “.

Ilmu trigonometri melejit pesat sejak ditemukan formula yang sekarang dikenal sebagai sinus, cosinus dan tangen. Dengan adanya formula tadi, banyak perhitungan geometri yang dapat dibuat menjadi mudah dan efisien karena tidak perlu lagi berputar-putar dan berulang-ulang.

Formula penting trigonometri yaitu sinus, cosinus diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan muslim kelahiran Iran, Wafa Muhammad al Buzjani pada tahun 964 Masehi alias 1.050 tahun silam. Kelak bersama matematikawan muslim lainnya yaitu Al Batani, beliau merumuskan formula tangens.

**

WAFA Muhammad al Buzjani lahir tahun 940 Masehi di Buzjan, sekarang termasuk wilayah negara Iran. Kemudian beliau melanjutkan pendidikan ke Bagdad, Irak di tahun 959, dan akhirnya dikenal sebagai salah satu pakar matematika dan astronomi.

Jasa Wafa Muhammad al Buzjani di bidang matematika geometri sangat besar. Beberapa kontribusinya antara lain menciptakan solusi bagi problema geometri yang berhubungan dengan arah mata angin, merumuskan dan membuat solusi untuk formula geometri berbentuk segi delapan beraturan dan persamaan trigonometri segitiga dalam hubungannya dengan lingkaran.

Selain itu, ada dua karya monumental dari Wafa Muhammad al Buzjani, yaitu solusi dari persamaan geometri x**4 = a dan x**4 + a (x**3)=b

juga penemuan bentuk penjumlahan sinus yaitu:

2 sin **2 (a/2) – 1 = cos (a) dan sin (a) = 2 sin (a/2) cos (a/2)

Karya-karya Wafa Muhammad al Buzjani diabadikan dalam tiga buah buku utamanya yaitu Ilm al Hisab yang berisi konsep dasar teorema dan hitungan aritmatika, “Al Kamil” yang berisi formula-formula matematika, Ilm al Handsa yang berisi formula problema dan solusi dari geometri terapan. Ketiga buku tersebut sangat tebal, masing-masing sekira 800 halaman. Enam hingga sepuluh abad kemudian, bukunya menjadi rujukan para ahli astronomi dan geometri seperti Tycho Brache, Gauss dan Lobachevsky.

Pada tahun 997 Masehi beliau wafat di Kota Bagdad pada usia yang relatif muda yaitu 57 tahun. Meski telah tiada ,Wafa Muhammad al Buzjani tetap akan dikenang dan dihargai jasanya karena terbukti mampu menjaga harkat dan martabat Islam. Semangat pengorbanan untuk matematika yang diperlihatkan Wafa Muhammad al Buzjani diharapkan menjadi cambuk bagi generasi muda, khususnya pemuda Islam untuk lebih percaya diri dan terpacu dalam memperdalam ilmu.*** 

Wildaiman,

Guru Matematika Pontren Al Masudiyah, Cigondewah, Kab Bandung.

Apakah ini Bapaknya TIK? (Teknologi Info Komunikasi) Salah satu kata yang sering muncul di dunia sains di film, novel dan komik adalah "Mad" (Gila), misalnya kita sering mendengar "Mad Scientist". Tetapi seperti kata 'benci' diangkat sebagai singkatan untuk 'benar-benar cinta', 'gila' adalah singaktan untuk 'giat lankah'. Kalau kita melaksankan sesuatu yang luar biasa kita sering disebut gila, pada hal itu bisa sebagai langkah awal ke sesuatu yang dapat merubah gaya hidup manusia di seluruh dunia, misalnya lampu listrik, telpon, dll. Tanpa orang gila begini kita tidak dapat cepat maju!.

Sains adalah ilmu yang seperti ilmu lain terus menambahkan pengetahuan dari penelitian oleh orang yang berdisiplin dan rajin. Tetapi seringkali kemajuan sains muncul dari idea yang dari awal dianggap gila. Kita harus berani dan percaya diri, dan ingat bahwa kita dapat gagal 1000 kali dalam kegiatan percobaan, tetapi kita hanya perlu berhasil sekali, dan idea kita sudah terbukti.

Sains dan Teknologi telah melekat erat ke dalam setiap gaya hidup dan kehidupan modern, bahkan begitu pentingnya bagi pelajar, dan menjadi tuntutan dalam kehidupan professional kita, maka belajar sains dan mengembangan ketrampilan sains dan teknologi pada saat ini adalah sangat penting dan menjadi keniscayaan.

Pentingnya terampil berkomunikasi dapat dibuktikan secara sepintas melalui berbagai surat kabar harian/koran. Kebanyakan lowongan pekerjaan untuk posisi-posisi penting selalu mempersyaratkan penguasaan teknologi. Bahkan saat ini begitu terasa pentingnya bagi para pelajar Indonesia bertepatan dengan usaha-usaha pemerintah untuk meningkatkan investasi asing di Indonesia.

Pengetahuan dan keterampilan ilmu sains dan teknologi memungkinkan kita dapat memasuki berbagai bidang profesi, namun demikian tanpa dibarengi dengan pengembangan kreativitas pribadi maka keterampilan itu sendiri menjadi tidak berarti dan tidak menjamin dengan sendirinya masa depan yang cerah atau adanya pengembangan karir pribadi yang pasti

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi adalah seorang matematikawan, ahli astronomi, dan juga ahli di bidang geografi dan astrologi. Matematikawan kelahiran Uzbekistan menyebarkan penggunaan bilangan Hindu-Arab melalui bukunya yang berjudul Kitāb al-Jam wa-l-tafrīq bi-hisab al-Hind(Buku mengenai Penambahan dan Pengurangan Merujuk pada Perhitungan Hindu). Buku ini kemudian diterjemahkan dalam bahasa Latin, dengan judul Algoritmi de Numero Indorum pada abad ke-12.

Matematikawan yang lahir tahun 780 dan meninggal pada tahun 850 ini mengabdikan masa hidupnya dengan menjadi intelektual di Bayt al-Hikma. Tempat ini didirikan oleh khalifah al-Ma’mun sebagai lembaga riset, dan tempat untuk menerjemahkan buku-buku berbahasa Yunani dan Latin. Kehadiran Bayt al-Hikma ini merupakan langkah lanjutan dari apa yang telah dilakukan oleh khalifah al-Mansur pada tahun 766 dengan mendirikan pusat-pusat ilmu, dan perpustakaan yang didirikan pada masa kekhalifahan Harun al-Rasyid.

Buku Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala, salah satu buku yang ditulis oleh al-Khwarizmi, merupakan dasar dari prinsip-prinsip aljabar yang digunakan sekarang. Nama aljabar sendiri, diambil dari salah satu bagian dari buku ini yang berkisah mengenai operasi dasar yang digunakan dalam perhitungan.

Selain berkecimpung di bidang matematika, al-Khwarizmi juga memberikan sumbangsih di bidang geografi. Sumbangsih ini ia wujudkan dalam Kitab Surat al-Ard (Buku Tentang Rupa Bumi). Buku ini merupakan revisi dari buku Geografi yang ditulis oleh Ptolemy.

Matematika

Matematika (dari bahasa Yunani: ?????????? - math?matiká) secara umum ditegaskan sebagai penelitian pola dari struktur, perubahan, dan ruang; tak lebih resmi, seorang mungkin mengatakan adalah penelitian bilangan dan angka'. Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; pandangan lain tergambar dalam filosofi matematika.

Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematikus sering mempunyai berasal dari ilmu pengetahuan alam, sangat umum di fisika, tetapi mathematikus juga menegaskan dan menyelidiki struktur untuk sebab hanya dalam saja sampai ilmu pasti, karena struktur mungkin menyediakan, untuk kejadian, generalisasi pemersatu bagi beberapa sub-bidang, atau alat membantu untuk perhitungan biasa. Akhirnya, banyak matematikus belajar bidang dilakukan mereka untuk sebab yang hanya estetis saja, melihat ilmu pasti sebagai bentuk seni daripada sebagai ilmu praktis atau terapan.

Sejarah matematika

Cakupan pengkajian yang disebut sebagai sejarah matematika adalah terutama berupa penyelidikan terhadap asal muasal temuan baru di dalam matematika, di dalam ruang lingkup yang lebih sempit berupa penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika baku di masa silam.

Sebelum zaman modern dan pengetahuan yang tersebar global, contoh-contoh tertulis dari pembangunan matematika yang baru telah mencapai kemilaunya hanya di beberapa tempat. Tulisan matematika terkuno yang pernah ditemukan adalah Plimpton 322 (Matematika Babilonia yang berangka tahun 1900 SM), Lembaran Matematika Moskow (Matematika Mesir yang berangka tahun 1850 SM), Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir yang berangka tahun 1650 SM), dan Shulba Sutra (Matematika India yang berangka tahun 800 SM).

Semua tulisan yang bersangkutan memusatkan perhatian kepada apa yang biasa dikenal sebagai Teorema Pythagoras, yang kelihatannya sebagai hasil pembangunan matematika yang paling kuno dan tersebar luas setelah aritmetika dasar dan geometri.

Apakah matematika?

Pengertian matematika sangat sulit didefinsikan secara akurat. Pada umumnya orang awam hanya akrab dengan satu cabang matematika elementer yang disebut aritmetika atau ilmu hitung yang secara informal dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang berbagai bilangan yang bisa langsung diperoleh dari bilangan-bilangan bulat 0, 1, -1, 2, - 2, ..., dst, melalui beberapa operasi dasar: tambah, kurang, kali dan bagi.

Silakan baca kutipan-kutipan lama atau kuno di:

• Is Mathematics Beautiful?

• Do We Need Mathematics?

Matematika sebagai Raja dan sekaligus Pelayan

Ada pendapat terkenal yang memandang matematika sebagai pelayan dan sekaligus raja dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu dasar yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sejak masa sebelum masehi, misalnya jaman Mesir kuno, cabang tertua dan termudah dari matematika (aritmetika) sudah digunakan untuk membuat piramida, digunakan untuk menentukan waktu turun hujan, dsb.

Sebagai raja, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain. Banyak cabang matematika yang dulu biasa disebut matematika murni, dikembangkan oleh beberapa matematikawan yang mencintai dan belajar matematika hanya sebagai hoby tanpa memperdulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmu-ilmu lain. Dengan perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang matematika murni yang ternyata kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir.

Apakah matematika ilmu yang 'sulit'?

Secara umum, semakin kompleks suatu fenomena, semakin kompleks pula alat (dalam hal ini jenis matematika) yang melalui berbagai perumusan (model matematikanya) diharapkan mampu untuk mendapatkan atau sekedar mendekati solusi eksak seakurat-akuratnya.

Jadi tingkat kesulitan suatu jenis atau cabang matematika bukan disebabkan oleh jenis atau cabang matematika itu sendiri, tetapi disebabkan oleh sulit dan kompleksnya fenomena yang solusinya diusahakan dicari atau didekati oleh perumusan (model matematikanya) dengan menggunakan jenis atau cabang matematika tersebut.

Sebaliknya berbagai fenomena fisik yg mudah di amati, misalnya jumlah penduduk di seluruh Indonesia, tak memerlukan jenis atau cabang matematika yang canggih. Kemampuan aritmetika sudah cukup untuk mencari solusi (jumlah penduduk) dengan keakuratan yang cukup tinggi.

Matematika sebagai bahasa

Di manakah letak semua konsep-konsep matematika, misalnya letak bilangan 1? Banyak para pakar matematika, misalnya para pakar Teori Model (lihat model matematika) yg juga mendalami filosofi di balik konsep-konsep matematika bersepakat bahwa semua konsep-konsep matematika secara universal terdapat di dalam pikiran setiap manusia.

Jadi yang dipelajari dalam matematika adalah berbagai simbol dan ekspresi untuk mengkomunikasikannya. Misalnya orang Jawa secara lisan memberi simbol bilangan 3 dengan mengatakan "Telu", sedangkan dalam bahasa Indonesia, bilangan tersebut disimbolkan melalui ucapan "Tiga". Inilah sebabnya, banyak pakar mengkelompokkan matematika dalam kelompok bahasa, atau lebih umum lagi dalam kelompok (alat) komunikasi, bukan sains.

Dalam pandangan formalis, matematika adalah penelaahan struktur abstrak yang didefinisikan secara aksioma dengan menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; ada pula pandangan lain, misalnya yang dibahas dalam filosofi matematika.

Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematikawan sering kali berasal dari ilmu pengetahuan alam, dan sangat umum di fisika, tetapi matematikawan juga mendefinisikan dan menyelidiki struktur internal dalam matematika itu sendiri, misalnya, untuk menggeneralisasikan teori bagi beberapa sub-bidang, atau alat membantu untuk perhitungan biasa. Akhirnya, banyak matematikawan belajar bidang yang dilakukan mereka untuk sebab estetis saja, melihat ilmu pasti sebagai bentuk seni daripada sebagai ilmu praktis atau terapan.

Matematika tingkat lanjut digunakan sebagai alat untuk mempelajari berbagai fenomena fisik yg kompleks, khususnya berbagai fenomena alam yang teramati, agar pola struktur, perubahan, ruang dan sifat-sifat fenomena bisa didekati atau dinyatakan dalam sebuah bentuk perumusan yg sistematis dan penuh dengan berbagai konvensi, simbol dan notasi. Hasil perumusan yang menggambarkan prilaku atau proses fenomena fisik tersebut biasa disebut model matematika dari fenomena.

Ikhtisar

Kata "matematika" berasal dari kata ??????(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai "sains, ilmu pengetahuan, atau belajar" juga ??????????? (mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar".

Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: studi tentang struktur, ruang dan perubahan.

Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan, pertama dan yang sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat dan operasi arimetikanya, yang semuanya itu dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan.

Investigasi metode-metode untuk memecahkan persamaan matematika dipelajari dalam aljabar abstrak, yang antara lain, mempelajari tentang ring dan field, struktur yang menggeneralisasi sifat-sifat yang umumnya dimiliki bilangan. Konsep vektor, digeneralisasi menjadi vektor ruang dipelajari dalam aljabar linier, yang termasuk dalam dua cabang: struktur dan ruang.

Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi lainnya), kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri Non-euclid yang memainkan peran sentral dalam teori relativitas umum. Beberapa permasalahan rumit tentang konstruksi kompas dan penggaris akhirnya diselesaikan dalam teori Galois.

Bidang ilmu modern tentang geometri diferensial dan geometri aljabar menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah:: geometri diferensial menekankan pada konsep fungsi, buntelan, derivatif, smoothness dan arah, sementara dalam geometri aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan polinomial. Teori grup mempelajari konsep simetri secara abstrak dan menyediakan kaitan antara studi ruang dan struktur. Topologi menghubungkan studi ruang dengan studi perubahan dengan berfokus pada konsep kontinuitas.

Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi. Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan differensial.

Untuk merepresentasikan kuantitas yang kontinu digunakanlah bilangan riil, dan studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Untuk beberapa alasan, amat tepat untuk menyamaratakan bilangan kompleks yang dipelajari dalam analisis kompleks. Analisis fungsional memfokuskan perhatian pada (secara khas dimensi tak terbatas) ruang fungsi, meletakkan dasar untuk mekanika kuantum di antara banyak hal lainnya.

Banyak fenomena di alam bisa dideskripsikan dengan sistem dinamis dan teori chaos menghadapi fakta yang banyak dari sistem-sistem itu belum memperlihatkan jalan ketentuan yang tak dapat diperkirakan.

Agar menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang teori pasti, logika matematika dan teori model dikembangkan.

Saat pertama kali komputer disusun, beberapa konsep teori yang penting dibentuk oleh matematikawan, menimbulkan bidang teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, teori informasi dan teori informasi algoritma. Kini banyak pertanyaan-pertanyaan itu diselidiki dalam ilmu komputer teoritis. Matematika diskret ialah nama umum untuk bidang-bidang penggunaan matematika dalam ilmu komputer.

Bidang-bidang penting dalam matematika terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis bilangan menyelidiki teori yang secara tepat guna memecahkan bermacam masalah matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam laporan.

Topik dalam matematika

daftar bahasan dalam matematika dan subklasifikasinya dapat dilihat dalam daftar alfabet.

Daftar topik dan sub klasifikasi dibawah ini merupakan gambaran matematika secara umum.

• Kuantitas

Pada dasarnya, topik dan ide ini menyajikan ukuran jelas dari bilangan atau kumpulan, atau jalan untuk menemukan semacam ukuran.

Bilangan – Bilangan dasar – Pi – Bilangan bulat – Bilangan rasional – Bilangan riil – Bilangan kompleks – Bilangan hiperkompleks – Quaternion – Oktonion – Sedenion – Bilangan hiperriil – Bilangan surreal – Bilangan urutan – Bilangan pokok – Bilangan P-adic – Rangkaian bilangan bulat – Konstanta matematika – Nama bilangan – Ketakterbatasan – Dasar – Sudut Jarum Jam

• Perubahan

Topik-topik berikut memberi cara untuk mengukur perubahan dalam fungsi matematika, dan perubahan antar angka.

Aritmetika – Kalkulus – Kalkulus vektor – Analisis – Persamaan diferensial – Sistem dinamis dan teori chaos – Daftar fungsi

• Struktur

Cabang berikut mengukur besar dan simetri angka, dan berbagai konstruk.

Aljabar abstrak – Teori bilangan – Geometri aljabar – Teori grup – Monoid – Analisis – Topologi – Aljabar linear – Teori grafik – Aljabar universal – Teori kategori – Teori urutan

• Ruang

Topik-topik berikut mengukur pendekatan visual kepada matematika dari topik lainnya.

Topologi – Geometri – Trigonometri – Geometri Aljabar – Geometri turunan – Topologi turunan – Topologi aljabar – Algebra linear – Geometri fraktal

• Matematika diskrit

Topik dalam matematika diskrit berhadapan dengan cabang matematika dengan objek yang dapat mengambil harga tertentu dan terpisah.

Kombinasi – Teori himpunan naif – Kemungkinan – Teori komputasi – Matematika terbatas – Kriptografi – Teori Gambar – Teori permainan

• Matematika terapan

Bidang-bidang dalam matematika terapan menggunakan pengetahuan matematika untuk mengatasi masalah dunia nyata.

Mekanika – Analisa Numerik – Optimisasi – Probabilitas – Statistik – Matematika Finansial (keuangan) – Metoda Numerik

• Konjektur dan teori-teori yang terkenal

Teorema-teorema itu telah menarik matematikawan dan dan yang bukan matematikawan.

Teori terakhir Fermat – Konjektur Goldbach – Konjektur Utama Kembar – Teorema ketidaklengkapan Gödel – Konjektur Poincaré – Argumen diagonal Cantor – Teorema empat warna – Lema Zorn – Identitas Euler – Konjektur Scholz – Tesis Church-Turing

• Teori dan konjektur penting

Di bawah ini adalah teori dan konjektur yang telah mengubah wajah matematika sepanjang sejarah.

Hipotesis Riemann – Hipotesis Continuum – P=NP – Teori Pythagorean – Central limit theorem – Teordi dasar kalkulus – Teori dasar aljabar – Teori dasar aritmetik – Teori dasar geometri proyektif – klasifikasi teorema permukaan – Teori Gauss-Bonnet

• Dasar dan metode

Topik yang membahas pendekatan ke matematika dan pengaruh cara matematikawan mempelajari subyek mereka.

Filsafat matematika – Intuisionisme matematika – Konstruktivisme matematika – Dasar matematika – Teori pasti – Logika simbol – Teori model – Teori kategori – Logika – Matematika kebalikan – Daftar simbol matematika

• Sejarah dunia para matematikawan

Sejarah matematika – Garis waktu matematika – Matematikawan – Medali bidang – Hadiah Abel – Masalah Hadiah Milenium (Hadiah Matematika Clay) – International Mathematical Union – Pertandingan matematika – Pemikiran lateral – Kemampuan matematika dan masalah gender

• Matematika dan bidang lainnya

Matematika dan arsitektur – Matematika dan pendidikan – Matematika skala musik

• Kejadian Kebetulan Matematika

Daftar Kejadian Kebetulan Matematika

• Peralatan Matematika

Dulu:

• Abacus

• Tulang Napier, Jangka sorong

• Penggaris dan Kompas

• Perhitungan biasa

Sekarang:

• Kalkulator dan komputer

• Bahasa pemrograman

• Sistem komputer aljabar (listing)

• Notasi sederhana Internet

• Analisis statistik software

o SPSS

o SAS

o R

Kutipan

Menurut metode aksiomatik, di mana sifat-sifat tertentu (sebaliknya tak dikenal) struktur diambil dan kemudian secara logis akibat dari itu kenudian secara logika diturunkan, Bertrand Russell berkata:

"Matematika dapat didefinisikan sebagai subyek yang mana kita tidak pernah tau tentang apa yang sedang kita bicarakan, maupun apa yang tidak kita katakan benar".

Mungkin ini menjelaskan mengapa John von Neumann berkata suatu kali:

"Dalam matematika Anda takkan memahami hal. Anda benar-benar mengambilnya dulu".

Tentang indahnya matematika, Bertrand Russell berkata dalam Study of Mathematics:

"Matematika, sudah sepantasnya dipandang, tak hanya memiliki kebenaran, namun keindahan tertinggi – dingin dan cermat yang bagus, seperti pahatan itu, tanpa menarik setiap bagian sifat lemah kita, tanpa hiasan indah lukisan atau musik, masih murni sama sekali, dan kemampuan kesempurnaan keras seperti hanya seni terbesar dapat mempertunjukkan. Jiwa kesenangan yang sesungguhnya, keagungan, arti badan lebih daripada manusia, yang merupakan batu ujian keunggulan tertinggi, untuk ditemukan dalam matematika seperti tentu saja puisi".

Menguraikan simetri antara aspek penciptaan dan logika matematika, W.S. Anglin mengamati, dalam Mathematics and History:

"Matematika bukanlah gerakan turun hati-hati jalan raya yang bebas, namun perjalanan dalam hutan belantara yang asing, di mana penjelajah sering kehilangan. Kekerasan akan menjadi tanda untuk sejarawan yang mana peta telah dibuat, dan penjelajah sesungguhnya telah pergi ke tempat lain".

Fakta penting: "Matematika bukan..."

Matematika bukan numerologi. Walau numerologi memakai aritmetika modular untuk mengurangi nama dan data pada bilangan digit tunggal, numerologi secara berubah memberikan emosi atau ciri pada bilangan tanpa mengacaukan untuk membuktikan penetapan dalam gaya logika. Matematika ialah mengenai gagasan pembuktian atau penyangkalan dalam gaya logika, namun numerologi tidak. Interaksi antara secara berubah emosi penentuan bilangan secara intuitif diperkirakan daripada yang telah diperhitungkan secara seksama.

Matematika bukan akuntansi. Meskipun perhitungan aritmetika sangat krusial dalam pekerjaan akuntansi, utamanya keduanya mengenai pembuktian yang mana perhitungan benar melalui sistem pemeriksaan ulang. Pembuktian atau penyangkalan hipotesis amat penting bagi matematikawan, namun tak sebanyak akuntan. Kelanjutan dalam matematika abstrak menyimpang pada akuntansi jika penemuan tak dapat diterapkan pada pembuktian efisiensi tata buku konkret.

Matematika bukan sains, karena kebenaran dalam matematika tidak memerlukan pengamatan empiris

Matematika bukan fisika, karena fisika adalah sains.

Algoritma ElGamal merupakan algoritma kriptografi asimetris yang

menggunakan dua jenis kunci, yaitu kunci publik dan kunci rahasia. Tingkat

keamanan algoritma ini didasarkan atas masalah logaritma diskret pada grup

pergandaan bilangan bulat modulo prima, *{1,2,...,1}p=- , dengan p adalah p

bilangan prima. Sehingga apabila digunakan bilangan prima dan logaritma diskret

yang besar, maka upaya untuk menyelesaikan masalah logaritma diskret ini menjadi sia-sia dan dirasakan tidak sesuai dengan isi informasi yang ingin diperoleh.

Algoritma ElGamal mempunyai kunci publik berupa tiga pasang bilangan

dan kunci rahasia berupa satu bilangan. Algoritma ini melakukan proses enkripsi dan dekripsi pada blok-blok plainteks dan dihasilkan blok-blok cipherteks yang masing-masing terdiri dari dua pasang bilangan.

Pada skripsi ini pembahasan difokuskan pada algoritma ElGamal yang

digunakan dalam proses enkripsi dan dekripsi, beserta konsep-konsep matematis

yang melandasinya, yang meliputi teori bilangan dan struktur aljabar. Kemudian

dibuat sebuah program pengamanan pesan rahasia yang sederhana berdasarkan

algoritma ElGamal.

Kata kunci : algoritma, asimetris, cipher blok, ElGamal, kriptografi, kunci publik,

masalah logaritma diskret

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Kemajuan dan perkembangan teknologi informasi dewasa ini telah

berpengaruh pada hampir semua aspek kehidupan manusia, tak terkecuali dalam hal

berkomunikasi. Dengan adanya internet, komunikasi jarak jauh dapat dilakukan

dengan cepat dan murah. Namun di sisi lain, ternyata internet tidak terlalu aman

karena merupakan media komunikasi umum yang dapat digunakan oleh siapapun

sehingga sangat rawan terhadap penyadapan informasi oleh pihak-pihak yang tidak

berhak mengetahui informasi tersebut. Oleh karena penggunaan internet yang sangat luas seperti pada bisnis, perdagangan, bank, industri dan pemerintahan yang umumnya mengandung informasi yang bersifat rahasia maka keamanan informasi menjadi faktor utama yang harus dipenuhi. Berbagai hal telah dilakukan untuk mendapatkan jaminan keamanan informasi rahasia ini. Salah satu cara yang

digunakan adalah dengan menyandikan isi informasi menjadi suatu kode-kode yang

tidak dimengerti sehingga apabila disadap maka akan kesulitan untuk mengetahui isi informasi yang sebenarnya.

Metode penyandian yang pertama kali dibuat masih menggunakan metode algoritma rahasia. Metode ini menumpukan keamanannya pada kerahasian algoritma yang digunakan. Namun metode ini tidak efisien saat digunakan untuk

berkomunikasi dengan banyak orang. Oleh karena itu seseorang harus membuat

algoritma baru apabila akan bertukar informasi rahasia dengan orang lain. Karena penggunaannya yang tidak efisien maka algoritma rahasia mulai

ditinggalkan dan dikenalkan suatu metode baru yang disebut dengan algoritma kunci. Metode ini tidak menumpukan keamanan pada algoritmanya, tetapi pada kerahasian kunci yang digunakan pada proses penyandian. Algoritmanya dapat diketahui, digunakan dan dipelajari oleh siapapun. Metode algoritma kunci mempunyai tingkat efisiensi dan keamanan yang lebih baik dibandingkan dengan algoritma rahasia.

Sampai sekarang algoritma kunci masih digunakan secara luas di internet dan terus

dikembangkan untuk mendapatkan keamanan yang lebih baik. Algoritma ElGamal merupakan salah satu dari algoritma kunci. Algoritma ini dikembangkan pertama kali oleh Taher ElGamal pada tahun 1985. Sampai saat ini, algoritma ElGamal masih dipercaya sebagai metode penyandian, seperti aplikasi PGP dan GnuPG yang dapat digunakan untuk pengamanan e-mail dan tanda tangan digital. Pada tahun 1994 pemerintah Amerika Serikat mengadopsi Digital Signature Standard, sebuah mekanisme penyandian yang berdasar pada algoritma ElGamal.

1.2. Perumusan Masalah

Masalah yang dibahas pada skripsi ini adalah konsep-konsep matematis yang

melandasi pembentukan algoritma ElGamal, proses penyandian serta implementasi

algoritma ElGamal dalam bentuk sebuah program komputer yang sederhana.

1.3. Batasan Masalah

Pada skripsi ini, pembahasan algoritma ElGamal meliputi konsep matematis

yang melandasinya dan proses penyandiannya. Serta mengenai pembuatan sebuah program komputer yang digunakan untuk menyandikan suatu pesan. Program ini

merupakan implementasi algoritma ElGamal dan dibuat menggunakan bahasa

Pascal. Pada skripsi ini tidak membahas mengenai sulitnya dan cara-cara untuk

memecahkan mekanisme penyandian.

1.4. Maksud dan Tujuan

Selain untuk memenuhi syarat kelulusan program Strata-1 (S1) program studi

Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk

mempelajari konsep matematis yang melandasi pembentukan algoritma ElGamal dan penggunaannya. Sedangkan pembuatan program komputer hanya ditujukan sebagai contoh semata agar mempermudah pemahaman.

1.5. Tinjauan Pustaka

Algoritma ElGamal banyak dibahas pada buku-buku kriptografi, tetapi masih

sedikit yang membahas secara mendetail tentang konsep-konsep matematisnya.

Stinson (1995) telah menjelaskan secara umum tentang algoritma ElGamal beserta

sistem pendukungnya. Buchmann (2000) secara khusus menitikberatkan pada

pemahaman konsep dasar matematis dari algoritma ElGamal, seperti teori bilangan

bulat, persamaan kongruen, dan struktur aljabar abstrak yang meliputi grup,

homomorfisma dan gelanggang. Pembahasan aljabar abstrak yang lebih terperinci

diberikan oleh Fraleigh (2000), namun tidak ada pembahasan yang mengaitkan

secara langsung dengan algoritma ElGamal. Sedangkan implementasi algoritma

ElGamal diberikan oleh Menezes, Oorschot dan Vanstone (1996), termasuk penjelasan beberapa algoritma yang dapat digunakan untuk membuat program

komputer.

1.6. Metodologi Penelitian

Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih

dahulu melakukan studi literatur mengenai algoritma ElGamal pada beberapa buku,

paper, maupun situs internet yang berhubungan dengan algoritma ElGamal.

Kemudian penulis mengambil beberapa materi yang menjelaskan mengenai

algoritma ElGamal dan membahasnya. Langkah terakhir adalah melakukan

perancangan dan menerapkan algoritma tersebut menggunakan bahasa Pascal untuk membuat sebuah program komputer yang digunakan untuk menyandikan pesan.

1.7. Sistematika Penulisan

Dalam skripsi ini pembahasan materi disusun menjadi tujuh bab. Materi tersebut disusun dengan sistematika berikut ini.

BAB I PENDAHULUAN

Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang, perumusan masalah, batasan

masalah, maksud dan tujuan penulisan skripsi, tinjauan pustaka, metode

penulisan, serta sistematika penulisan skripsi.

BAB II LANDASAN TEORI

Pada bab ini dibahas mengenai tiga landasan teori yang harus dipahami

sebelum membahas bagian inti dari skripsi ini, yaitu mengenai kriptografi, bilangan bulat dan struktur aljabar. Pada bagian kriptografi akan diberikan

definisi kriptogafi, algoritma kriptografi dan sistem kriptografi. Pada bagian

bilangan bulat akan dibahas mengenai beberapa sifat bilangan bulat seperti

divisibility, algoritma pembagian pada bilangan bulat, representasi bilangan

bulat, pembagi persekutuan terbesar, algoritma Euclide, serta faktorisasi ke

bilangan prima. Sedangkan pada pembahasan mengenai struktur aljabar akan

dibahas mengenai grup, grup siklik, partisi dan relasi ekuivalensi,

homomorfisma, grup fakor, gelanggang, dan lapangan.

BAB III PERSAMAAN KONGRUEN DAN HIMPUNAN BILANGAN

BULAT MODULO

Pada bab ini dibahas mengenai konsep-konsep dasar matematika yang secara

khusus mendasari pembentukan algoritma ElGamal yang meliputi persamaan

kongruen, himpunan bilangan bulat modulo, gelanggang bilangan bulat

modulo, grup pergandaan bilangan bulat modulo, Euler ?-function, teorema

Fermat, metode fast exponentiation, grup unit atas lapangan berhingga dan

elemen primitif.

BAB IV TES KEPRIMAAN

Pada bab ini dibahas mengenai dua tes keprimaan (primality test), yaitu tes

Fermat dan tes Miller-Rabbin. Tes keprimaan merupakan suatu algoritma

yang digunakan untuk mengecek apakah suatu bilangan bulat positif ganjil

merupakan bilangan prima atau bukan. BAB V MASALAH LOGARITMA DISKRET DAN ALGORITMA ELGAMAL

Pada bab ini dibahas dua hal yang menyangkut algoritma ElGamal, yaitu

masalah logaritma diskret yang mendasari pembentukan algoritma ElGamal

dan proses penyandian menggunakan algoritma ElGamal. Pada penjelasan

mengenai proses penyandian dijelaskan tiga hal yaitu proses pembentukan

kunci, proses enkripsi dan proses dekripsi. Serta diberikan contoh kasus

penggunaannya.

BAB VI IMPLEMENTASI DAN UJI COBA

Bab ini membahas mengenai langkah- langkah pembuatan program komputer

yang digunakan untuk menyandikan suatu pesan menggunakan algoritma

ElGamal. Serta pembahasan hasil uji coba program tersebut.

BAB VII PENUTUP

Bab ini berisi kesimpulan dan saran-saran yang dapat diambil berdasarkan

materi-materi yang telah dibahas pada bab-bab sebelumnya.